И для её решения потребуется минимальное знание темы. Заканчивается очередной учебный год, всем хочется на каникулы, и чтобы приблизить этот момент я сразу же перехожу к делу:
Начнём с области. Область, о которой идёт речь в условии, представляет собой ограниченное
замкнутое
множество точек плоскости . Например, множество точек, ограниченное треугольником, включая ВЕСЬ треугольник (если из границы
«выколоть» хотя бы одну точку, то область перестанет быть замкнутой)
. На практике также встречаются области прямоугольной, круглой и чуть более сложных форм. Следует отметить, что в теории математического анализа даются строгие определения ограниченности, замкнутости, границы и т.д.
, но, думаю, все осознаЮт эти понятия на интуитивном уровне, а бОльшего сейчас и не надо.
Плоская область стандартно обозначается буквой , и, как правило, задаётся аналитически – несколькими уравнениями (не обязательно линейными)
; реже неравенствами. Типичный словесный оборот: «замкнутая область , ограниченная линиями ».
Неотъемлемой частью рассматриваемого задания является построение области на чертеже. Как это сделать? Нужно начертить все перечисленные линии (в данном случае 3 прямые
) и проанализировать, что же получилось. Искомую область обычно слегка штрихуют, а её границу выделяют жирной линией:
Эту же область можно задать и линейными неравенствами
: , которые почему-то чаще записывают перечислительным списком, а не системой
.
Так как граница принадлежит области, то все неравенства, разумеется, нестрогие
.
А теперь суть задачи. Представьте, что из начала координат прямо на вас выходит ось . Рассмотрим функцию , которая непрерывна
в каждой
точке области . График данной функции представляет собой некоторую поверхность
, и маленькое счастье состоит в том, что для решения сегодняшней задачи нам совсем не обязательно знать, как эта поверхность выглядит. Она может располагаться выше, ниже, пересекать плоскость – всё это не важно. А важно следующее: согласно теоремам Вейерштрасса
, непрерывная
в ограниченной замкнутой
области функция достигает в ней наибольшего (самого «высокого»)
и наименьшего (самого «низкого»)
значений, которые и требуется найти. Такие значения достигаются либо
в стационарных точках
, принадлежащих области
D
, либо
в точках, которые лежат на границе этой области. Из чего следует простой и прозрачный алгоритм решения:
Пример 1
В ограниченной замкнутой области
Решение
: прежде всего, нужно изобразить область на чертеже. К сожалению, мне технически трудно сделать интерактивную модель задачи, и поэтому я сразу приведу финальную иллюстрацию, на которой изображены все «подозрительные» точки , найденные в ходе исследования. Обычно они проставляются одна за другой по мере их обнаружения:
Исходя из преамбулы, решение удобно разбить на два пункта:
I) Найдём стационарные точки. Это стандартное действие, которые мы неоднократно выполняли на уроке об экстремумах нескольких переменных
:
Найденная стационарная точка принадлежит
области: (отмечаем её на чертеже)
, а значит, нам следует вычислить значение функции в данной точке:
– как и в статье Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
, важные результаты я буду выделять жирным шрифтом. В тетради их удобно обводить карандашом.
Обратите внимание на наше второе счастье – нет никакого смысла проверять достаточное условие экстремума
. Почему? Даже если в точке функция достигает, например, локального минимума
, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что полученное значение будет минимальным
во всей области (см. начало урока о безусловных экстремумах
)
.
Что делать, если стационарная точка НЕ принадлежит области? Почти ничего! Нужно отметить, что и перейти к следующему пункту.
II) Исследуем границу области.
Поскольку граница состоит из сторон треугольника, то исследование удобно разбить на 3 подпункта. Но лучше это сделать не абы как. С моей точки зрения, сначала выгоднее рассмотреть отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях. Чтобы уловить всю последовательность и логику действий постарайтесь изучить концовку «на одном дыхании»:
1) Разберёмся с нижней стороной треугольника. Для этого подставим непосредственно в функцию:
Как вариант, можно оформить и так:
Геометрически это означает, что координатная плоскость (которая тоже задаётся уравнением )
«высекает» из поверхности
«пространственную» параболу , вершина которой немедленно попадает под подозрение. Выясним, где она находится
:
– полученное значение «попало» в область, и вполне может статься, что в точке (отмечаем на чертеже)
функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области . Так или иначе, проводим вычисления:
Другие «кандидаты» – это, конечно же, концы отрезка. Вычислим значения функции в точках 
(отмечаем на чертеже)
:
Тут, кстати, можно выполнить устную мини-проверку по «урезанной» версии :
2) Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию и «наводим там порядок»:
Здесь сразу же выполним черновую проверку, «прозванивая» уже обработанный конец отрезка:
, отлично.
Геометрическая ситуация родственна предыдущему пункту:
– полученное значение тоже «вошло в сферу наших интересов», а значит, нужно вычислить, чему равна функция в появившейся точке :
Исследуем второй конец отрезка :
Используя функцию 
, выполним контрольную проверку:
3) Наверное, все догадываются, как исследовать оставшуюся сторону . Подставляем в функцию и проводим упрощения:
Концы отрезка 
уже исследованы, но на черновике всё равно проверяем, правильно ли мы нашли функцию 
:
– совпало с результатом 1-го подпункта;
– совпало с результатом 2-го подпункта.
Осталось выяснить, если ли что-то интересное внутри отрезка :
– есть! Подставляя в уравнение прямой , получим ординату этой «интересности»:
Отмечаем на чертеже точку и находим соответствующее значение функции :
Проконтролируем вычисления по «бюджетной» версии 
:
, порядок.
И заключительный шаг
: ВНИМАТЕЛЬНО просматриваем все «жирные» числа, начинающим рекомендую даже составить единый список:
из которого выбираем наибольшее и наименьшее значения. Ответ
запишем в стилистике задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
:
На всякий случай ещё раз закомментирую геометрический смысл результата:
– здесь самая высокая точка поверхности в области ;
– здесь самая низкая точка поверхности в области .
В разобранной задаче у нас выявилось 7 «подозрительных» точек, но от задачи к задаче их количество варьируется. Для треугольной области минимальный «исследовательский набор» состоит из трёх точек. Такое бывает, когда функция , например, задаёт плоскость
– совершенно понятно, что стационарные точки отсутствуют, и функция может достигать наибольшего/наименьшего значений только в вершинах треугольника. Но подобных примеров раз, два и обчёлся – обычно приходится иметь дело с какой-нибудь поверхностью 2-го порядка
.
Если вы немного порешаете такие задания, то от треугольников голова может пойти кругом, и поэтому я приготовил для вас необычные примеры чтобы она стала квадратной:))
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области, ограниченной линиями
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области .
Особое внимание обратите на рациональный порядок и технику исследования границы области, а также на цепочку промежуточных проверок, которая практически стопроцентно позволит избежать вычислительных ошибок. Вообще говоря, решать можно как угодно, но в некоторых задачах, например, в том же Примере 2, есть все шансы значительно усложнить себе жизнь. Примерный образец чистового оформления заданий в конце урока.
Систематизируем алгоритм решения, а то с моей прилежностью паука он как-то затерялся в длинной нити комментариев 1-го примера:
– На первом шаге строим область , её желательно заштриховать, а границу выделить жирной линией. В ходе решения будут появляться точки, которые нужно проставлять на чертеже.
– Найдём стационарные точки и вычислим значения функции только в тех из них
, которые принадлежат области . Полученные значения выделяем в тексте (например, обводим карандашом). Если стационарная точка НЕ принадлежит области, то отмечаем этот факт значком либо словесно. Если же стационарных точек нет вовсе, то делаем письменный вывод о том, что они отсутствуют. В любом случае данный пункт пропускать нельзя!
– Исследуем границу области. Сначала выгодно разобраться с прямыми, которые параллельны координатным осям (если таковые есть вообще)
. Значения функции, вычисленные в «подозрительных» точках, также выделяем. О технике решения очень много сказано выше и ещё кое-что будет сказано ниже – читайте, перечитывайте, вникайте!
– Из выделенных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения и даём ответ. Иногда бывает, что такие значения функция достигает сразу в нескольких точках – в этом случае все эти точки следует отразить в ответе. Пусть, например, 
и оказалось, что это наименьшее значение. Тогда записываем, что
Заключительные примеры посвящены другим полезным идеям, которые пригодятся на практике:
Пример 4
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 
.
Я сохранил авторскую формулировку, в которой область задана в виде двойного неравенства. Это условие можно записать эквивалентной системой или же в более традиционном для данной задачи виде: 
Напоминаю, что с нелинейными
неравенствами мы сталкивались на , и если вам не понятен геометрический смысл записи , то, пожалуйста, не откладывайте и проясните ситуацию прямо сейчас;-)
Решение
, как всегда, начинается с построения области, которая представляет собой своеобразную «подошву»:
Мда, иногда приходится грызть не только гранит науки….
I) Найдём стационарные точки:
Система-мечта идиота:)
Стационарная точка принадлежит области, а именно, лежит на её границе.
А так, оно, ничего… весело урок пошёл – вот что значит попить правильного чая =)
II) Исследуем границу области. Не мудрствуя лукаво, начнём с оси абсцисс:
1) Если , то
Найдём, где вершина параболы:
– ценИте такие моменты – «попали» прямо в точку , с которой уже всё ясно. Но о проверке всё равно не забываем:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
2) С нижней частью «подошвы» разберёмся «за один присест» – безо всяких комплексов подставляем в функцию, причём, интересовать нас будет лишь отрезок :
Контроль:
Вот это уже вносит некоторое оживление в монотонную езду по накатанной колее. Найдём критические точки:
Решаем квадратное уравнение
, помните ещё о таком? …Впрочем, помните, конечно, иначе бы не читали эти строки =) Если в двух предыдущих примерах были удобны вычисления в десятичных дробях (что, кстати, редкость), то здесь нас поджидают привычные обыкновенные дроби. Находим «иксовые» корни и по уравнению определяем соответствующие «игрековые» координаты точек-«кандидатов»:
Вычислим значения функции в найденных точках:
Проверку по функции проведите самостоятельно.
Теперь внимательно изучаем завоёванные трофеи и записываем ответ
:
Вот это «кандидаты», так «кандидаты»!
Для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
в замкнутой области 
Запись с фигурными скобками читается так: «множество точек , таких, что ».
Иногда в подобных примерах используют метод множителей Лагранжа
, но реальная необходимость его применять вряд ли возникнет. Так, например, если дана функция с той же областью «дэ», то после подстановки в неё – с производной от никаких трудностей; причём оформляется всё «одной строкой» (со знаками ) без надобности рассматривать верхнюю и нижнюю полуокружности по отдельности. Но, конечно, бывают и более сложные случаи, где без функции Лагранжа (где , например, то же уравнение окружности)
обойтись трудно – как трудно обойтись и без хорошего отдыха!
Всем хорошо сдать сессию и до скорых встреч в следующем сезоне!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение
: изобразим область на чертеже:
Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии.
Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом .
Предлагаю решать такие задания следующим образом:
1. Находим производную.
2. Находим нули производной.
3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.
4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.
5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).
В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать .
Рассмотрим примеры:
77422. Найдите наибольшее значение функции у=х
3 –3х+4 на отрезке
[–2;0].
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.
Вычисляем значения функции в точках –2, –1 и 0:
Наибольшее значение функции равно 6.
Ответ: 6
77425. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 3х 2 + 2 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.
Вычисляем значения функции в точках 1, 2 и 4:
Наименьшее значение функции равно –2.
Ответ: –2
77426. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 – 6х 2 на отрезке [–3;3].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.
Вычисляем значения функции в точках –3, 0 и 3:
Наименьшее значение функции равно 0.
Ответ: 0
77429. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – 2х 2 + х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
3х 2 – 4х + 1 = 0
Получим корни: х 1 = 1 х 1 = 1/3.
Указанному в условии интервалу принадлежит только х = 1.
Найдём значения функции в точках 1 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77430. Найдите наибольшее значение функции у = х 3 + 2х 2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:
3х 2 + 4х + 1 = 0
Получим корни:
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = –1.
Находим значения функции в точках –4, –1, –1/3 и 1:
Получили, что наибольшее значение функции равно 3.
Ответ: 3
77433. Найдите наименьшее значение функции у = х 3 – х 2 – 40х +3 на отрезке .
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:
3х 2 – 2х – 40 = 0
Получим корни:
Указанному в условии интервалу принадлежит корень х = 4.
Находим значения функции в точках 0 и 4:
Получили, что наименьшее значение функции равно –109.
Ответ: –109
Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).
77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х 3 на отрезке [–2;2].
Подставляем точки от –2 до 2:
Посмотреть решение
77434. Найдите наибольшее значение функции у=х 3 + 2х 2 – 4х + 4 на отрезке [–2;0].
На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение
и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции
прибыли, а именно определить ее наибольшее значение
и разработать стратегию его достижения.
Инструкция
Исследование поведения любой всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение
функции
либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
Исходя из , наибольшим является значение
функции
y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
Чтобы определить наибольшее значение
функции
, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и , а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение
на некотором интервале с граничными значениями А и В.
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции
. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
Найдите производную функции
и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят скобки. Вычислите значения функции
при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: , (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
Задача на этом этапе
на отрезке .
