Примеры правильных многоугольников. Правильный многоугольник. Число сторон правильного многоугольника

Свойства выпуклый , вписанный , равносторонний , равноугольный , изотоксальный

Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника : если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.

Свойства

Координаты

Пусть x C {\displaystyle x_{C}} и y C {\displaystyle y_{C}} - координаты центра, а R {\displaystyle R} - радиус окружности , ϕ 0 {\displaystyle {\phi }_{0}} - угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

x i = x C + R cos ⁡ (ϕ 0 + 2 π i n) {\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)} y i = y C + R sin ⁡ (ϕ 0 + 2 π i n) {\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i = 0 … n − 1 {\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры

Пусть R {\displaystyle R} - радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности , тогда радиус вписанной окружности равен

r = R cos ⁡ π n {\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}} ,

а длина стороны многоугольника равна

a = 2 R sin ⁡ π n = 2 r t g π n {\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

N {\displaystyle n} и длиной стороны a {\displaystyle a} составляет:

S = n 4 a 2 ctg ⁡ π n {\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , вписанного в окружность радиуса R {\displaystyle R} , составляет:

S = n 2 R 2 sin ⁡ 2 π n {\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}} .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} , описанного вокруг окружности радиуса r {\displaystyle r} , составляет:

S = n r 2 t g π n {\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}} (площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n {\displaystyle n} равна

S = n r a 2 {\displaystyle S={\frac {nra}{2}}} ,

где r {\displaystyle r} - расстояние от середины стороны до центра, a {\displaystyle a} - длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр ( P {\displaystyle P} ) и радиус вписанной окружности ( r {\displaystyle r} ) составляет:

S = 1 2 P r {\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr} .

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L {\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

a n {\displaystyle a_{n}} - длина стороны правильного n-угольника. a n = sin ⁡ 180 n ⋅ L π {\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр P n {\displaystyle P_{n}} равен

P n = a n ⋅ n {\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n {\displaystyle n} - число сторон многоугольника.

Применение

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников .

Древнегреческие математики (Антифонт , Брисон Гераклейский , Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа . Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века . Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

Теорема 1 . Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Пусть ABCDEF (рис. 419) - правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность.

Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно провести окружность, которая пройдёт через три любые вершины правильного многоугольника, например через вершины Е, D и С. Пусть точка О - центр этой окружности.

Докажем, что эта окружность пройдёт и через четвёртую вершину многоугольника, например через вершину В.

Отрезки ОЕ, OD и ОС равны между собой, и каждый равен радиусу окружности. Проведём ещё отрезок ОВ; про этот отрезок сразу нельзя сказать, что он также равен радиусу окружности, это надо доказать. Рассмотрим треугольники OED и ODC, они равнобедренные и равные, следовательно, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Если внутренний угол данного многоугольника равен α , то ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2 ; но если ∠4= α / 2 , то и ∠5 = α / 2 , т.е. ∠4 = ∠5.

Отсюда заключаем, что (Delta)ОСD = (Delta)ОСВ и, значит, ОВ = ОС, т. е. отрезок ОВ равен радиусу проведённой окружности. Из этого следует, что окружность пройдёт и через вершину В правильного многоугольника.

Таким же приёмом докажем,что построенная окружность пройдёт и через все остальные вершины многоугольника. Значит, эта окружность будет описанной около данного правильного многоугольника. Теорема доказана.

Теорема 2 . В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Пусть ABCDEF - правильный многоугольник (рис. 420), надо доказать, что в него можно вписать окружность.

Из предыдущей теоремы известно, что около правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть точка О - центр этой окружности.

Соединим точку Oс вершинами многоугольника. Полученные треугольники OED, ODC и т д. равны между собой, значит, равны и их высоты, проведённые из точки О, т. е. OK = OL = ОМ = ON = OP = OQ.

Поэтому окружность, описанная из точки О как из центра радиусом, равным отрезку ОК, пройдёт через точки К, L, M, N, Р и Q, и высоты треугольников будут радиусами окружности. Стороны многоугольника перпендикулярны к радиусам в этих точках, поэтому они являются касательными к этой окружности. А это значит, что построенная окружность вписана в данный правильный многоугольник.

Такое же построение можно выполнить для любого правильного многоугольника, следовательно, вписать окружность можно в любой правильный многоугольник.

Следствие. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него, имеют общий центр.

Определения .

1. Центром правильного многоугольника называется общий центр окружностей, описанной около этого многоугольника и вписанной в него.

2. Перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на его сторону, называется апофемой правильного многоугольника.

Выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности

С помощью тригонометрических функций можно выразить сторону любого правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности.

Пусть АВ - сторона правильного n -угольника, вписанного в круг радиуса ОА = R (рис).

Проведём апофему OD правильного многоугольника и рассмотрим прямоугольный треугольник AOD. В этом треугольнике

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n = 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

но AB = 2AD и потому АВ = 2R sin 180° / n .

Длина стороны правильного n -угольника, вписанного в круг, обозначается обычно а n , поэтому полученную формулу можно записать так:

а n = 2R sin 180° / n .

Следствия:

1. Длина стороны правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 6 = R , так как

а 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Длина стороны правильного четырёхугольника (квадрата), вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 4 = R √ 2 , так как

а 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в круг радиуса R, выражается формулой а 3 = R √ 3 , так как.

а 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Площадь правильного многоугольника

Пусть дан правильный n -угольник (рис). Требуется определить его площадь. Обозначим сторону многоугольника через а и центр через О. Соединим отрезками центр с концами какой-либо стороны многоугольника, получим треугольник, в котором проведём апофему многоугольника.

Площадь этого треугольника равна ah / 2 . Чтобы определить площадь всего многоугольника нужно площадь одного треугольника умножить на число треугольников, т. е. на n . Получим: S = ah / 2 n = ahn / 2 , но аn равняется периметру многоугольника. Обозначим его через Р.

Окончательно получаем: S = Ph / 2 . где S - площадь правильного многоугольника, Р - его периметр, h - апофема.

Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему.

Другие материалы

Вашего многоугольника . Например, если вам нужно найти углы правильного многоугольника с 15 сторонами, подставьте n=15 в уравнение. У вас получится S=180⁰(15-2), S=180⁰х13, S=2340⁰.

Далее разделите полученную сумму внутренних углов на их количество. Например, в с многоугольником количество углов количеству сторон, то есть 15. Таким образом, вы получите, что угол равен 2340⁰/15=156⁰. Каждый внутренний угол многоугольника равен 156⁰.

Если вам удобнее рассчитать углы многоугольника в радианах, действуйте следующим образом. Вычтите из количества сторон число 2 и умножьте полученную разность на число П (Пи). Затем разделите произведение на количество углов в многоугольнике. Например, если вам нужно рассчитать углы правильного 15-угольника, действуйте так: П*(15-2)/15=13/15П, или 0,87П, или 2,72 (но, как , число П остается в неизменном виде). Либо просто разделите размер угла в градусах на 57,3 - именно столько содержится в одном радиане.

Также можете попробовать рассчитать углы правильного многоугольника в градах. Для этого вычтите из количества сторон число 2, разделите полученное число на количество сторон и умножьте результат на 200. Эта углов почти не используется, но если вы решили углы в градах, не забудьте, что град разбивается на метрические секунды и минуты (по 100 секунд ).

Возможно, вам необходимо рассчитать внешний угол правильного многоугольника , в этом случае поступайте так. Вычтите из 180⁰ внутренний угол – в результате вы получите значение смежного, то есть внешнего угла. Он может от -180⁰ до +180⁰.

Полезный совет

Если вам удалось узнать углы правильного многоугольника – вы сможете легко его построить. Начертите одну сторону определенной длины и от нее при помощи транспортира отложите нужный угол. Отмерьте точно такое же расстояние (все стороны правильного многоугольник равны) и снова отложите нужный угол. Продолжайте, пока стороны не сомкнутся.

Источники:

угол в правильном многоугольнике

Многоугольник состоит из нескольких отрезков, соединенных между собой и образующих замкнутую линию. Все фигуры этого класса делятся на простые и сложные. К простым относятся треугольник и четырехугольник, а к сложным - многоугольники с большим количеством сторон , а также звездчатые многоугольники.

Инструкция

Наиболее часто в задачах встречается правильный треугольник со сторон ой a. Поскольку многоугольник является правильным, то все три его сторон ы равны. Следовательно, зная медиану и высоту треугольника, можно найти все его сторон ы. Для этого используйте способ нахождения сторон ы :a=x/cosα.Так как сторон ы , т.е. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, где x - высота, медиана или биссектриса.Аналогичным образом находите все три неизвестные сторон ы в равнобедренном треугольнике, но при одном условии - заданной высоте. Она должна проецироваться на основание треугольника. Зная высоту основания x, найдите сторон у a:a=x/cosα.Поскольку a=b, так как треугольник равнобедренный, найдите его сторон ы следующим образом:a=b=x/cosα.После того как вы нашли боковые сторон ы треугольника, вычислите длину основания треугольника, применяя теорему Пифагора для нахождения половины основания:c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^2α)/ cos^2α=xtgα.Отсюда найдите основание:c=2xtgα.

Квадрат представляет собой , сторон ы которого вычисляются несколькими способами. Ниже рассмотрен каждый из них.Первый способ предлагает нахождение сторон ы квадрата. Поскольку все углы у квадрата прямые, данная их пополам таким образом, что образуются два прямоугольных треугольника с углами 45 градусов при . Соответственно, сторон а квадрата равна:a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, где d - квадрата.Если квадрат вписан в окружность, то зная радиус этой окружности, найдите его сторон у:a4=R√2, где R - радиус окружности.

Многоугольник называется правильным, если равны все его стороны и все углы. Среди треугольников правильным будет равносторонний треугольник и только он. Квадрат (и только квадрат) является правильным четырехугольником. Покажем, что существуют правильные многоугольники с любым числом сторон , где . Для этого приведем два способа построения таких многоугольников.

Способ 1. Возьмем произвольную окружность и разделим ее на равных частей. Такое построение далеко не при всяком осуществимо циркулем и линейкой, но мы будем здесь считать, что такое построение сделано. Примем точки деления в их последовательном положении на окружности за вершины -угольника, вписанного в эту окружность. Докажем, что построенный -угольник - правильный. Действительно, стороны нашего многоугольника (рис. 312) суть хорды, стягиваемые равными дугами, и потому они равны между собой.

Все углы опираются на равные дуги и потому также равны. Итак, многоугольник правильный.

Способ 2. Снова разделим окружность на равных частей и проведем в точках деления касательные к окружности; ограничим каждую из касательных точками ее пересечения с касательными, проведенными в соседних точках деления. Получим правильный многоугольник, описанный около окружности (рис. 313). В самом деле, углы его все равны, так как каждый из них, как угол между касательными, измеряется полуразностью дуг, из которых меньшая всегда равна части окружности, а большая - полной окружности минус часть. Равенство сторон видно хотя бы из равенства треугольников, образованных парами полукасательных и хордами (например, треугольники и т. д.). Все они равнобедренные, имеют равные углы при вершинах и равные основания.

Два правильных -угольника с одинаковым числом сторон подобны.

Действительно, стороны их заведомо находятся в постоянной отношении, равном отношению любой пары сторон. Кроме того, по теореме о сумме углов -угольника всякий правильный -угольник имеет одни и те же углы, равные 1. Условия признака п. 224 выполнены, и -угольники подобны.

Итак, для всякого правильные -угольники подобны. Отсюда непосредственно получаем ряд следствий:

1. Два правильных -угольника с равными сторонами равны.

2. Вокруг всякого правильного -угольника можно описать окружность.

Доказательство. Возьмем какой-либо правильный многоугольник с тем же числом сторон, что данный, построенный по первому способу, т. е. вписанный в окружность. Преобразуем его подобно так, чтобы он стал равен данному. Тогда окружность, описанная вокруг него, подобно преобразуется в окружность, описанную вокруг многоугольника, равного данному.

3. В каждый правильный многоугольник можно вписать окружность.

Доказательство аналогично. Полезно, однако, провести рассуждения и несколько иначе. Мы уже знаем, что вокруг данного многоугольника можно описать окружность. Возьмем ее центр. Стороны многоугольника служат ее хордами; будучи равны между собой, они должны одинаково отстоять от центра. Поэтому окружность с тем же центром и радиусом, равным расстоянию от центра до сторон многоугольника, будет касаться всех сторон многоугольника, т. е. будет вписанной окружностью.

Итак, вписанная и описанная окружности правильного многоугольника имеют общий центр. Он называется центром данного правильного многоугольника. Радиус описанной окружности называется радиусом многоугольника, радиус вписанной окружности его апофемой. Ясно, что апофема всегда меньше радиуса.