Расстояние от точки до точки по координатам. Как вычислить расстояние между координатами gps

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1 .

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем

а 2 + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.

Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).

Проверка:

А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Составим уравнение:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.

Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Составим уравнение:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Здравствуйте,

Используется PHP:

С уважением, Александр.

Здравствуйте,

Уже достаточное время мучаюсь с проблемой: пытаюсь рассчитать расстояние между двумя произвольными точками, которые находятся на удалении от 30 до 1500 метров друг от друга.

Используется PHP:

$cx=31.319738; //координата x первой точки
$cy=60.901638; //координата y первой точки
$x=31.333312; //координата x второй точки
$y=60.933981; //координата y второй точки
$mx=abs($cx-$x); //высчитываем разницу иксов (первый катет прямоугольного треугольника), функция abs(x) - возвращает модуль числаx x
$my=abs($cy-$y); //высчитываем разницу игреков (второй катет прямоугольного треугольника)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Получаем расстояние до метро (длину гипотенузы по правилу гипотенуза равна корню из суммы квадратов катетов)

Если непонятно, поясняю: я представляю, что расстояние между двумя точками - это гипотенуза прямоугольного треугольника. Тогда разница между иксами каждой из двух точек будет одним из катетов, а другим катетом будет разница игреков этих же двух точек. Тогда, посчитав разницы иксов и игреков, можно по формуле вычислить длину гипотенузы (т.е. расстояние между двумя точками).

Я знаю, что это правило хорошо работает для декартовой системы координат, однако, оно должно более-менее работать и через координаты longlat, т.к. измеряемое расстояние между двумя точками пренебрежимо мало (от 30 до 1500 метров).

Однако, расстояние по данному алгоритму вычисляется неверно (например, расстояние1, расчитанное по этому алгоритму, превышает расстояние2 всего на 13%, тогда как в реальности расстояние1 равно 1450 метров, я расстояние2 равно 970 метров, то есть на самом делие разница достигает почти 50%).