Найти расстояние от данной точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения

Данная статья рассказывает об определении расстояния от точки до плоскости. произведем разбор методом координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. Для закрепления рассмотрим примеры нескольких задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Расстояние от точки до плоскости находится посредствам известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка М 1 с плоскостью χ , то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. Н 1 является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок М 1 Н 1 – это перпендикуляр,который провели из точки М 1 к плоскости χ , где точка Н 1 – основание перпендикуляра.

Определение 1

Называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Определение может быть записано разными формулировками.

Определение 2

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки М 1 к плоскости χ определяется так: расстояние от точки М 1 до плоскости χ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка Н 2 располагается в плоскости χ и не равна точке Н 2 , тогда получаем прямоугольный треугольник вида М 2 H 1 H 2 , который является прямоугольным, где имеется катет М 2 H 1 , М 2 H 2 – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что M 1 H 1 < M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 считается наклонной, которая проводится из точки М 1 до плоскости χ . Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке, приведенном ниже.

Расстояние от точки до плоскости – теория, примеры, решения

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) с плоскостью χ , необходимо определить расстояние от М 1 к плоскости χ . Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки Н 1 , которые являются основанием перпендикуляра из точки М 1 к плоскости χ . Далее необходимо вычислить расстояние между М 1 и Н 1 .

Для решения задачи вторым способом применяют нормальное уравнение заданной плоскости.

Второй способ

По условию имеем, что Н 1 является основанием перпендикуляра, который опустили из точки М 1 на плоскость χ . Тогда определяем координаты (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 . Искомое расстояние от М 1 к плоскости χ находится по формуле M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 , где M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Для решения необходимо узнать координаты точки Н 1 .

Имеем, что Н 1 является точкой пересечения плоскости χ с прямой a , которая проходит через точку М 1 , расположенную перпендикулярно плоскости χ . Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Н 1 . Необходимо произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Алгоритм нахождения расстояния от точки с координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к плоскости χ :

Определение 3

составить уравнение прямой а, проходящей через точку М 1 и одновременно
перпендикулярной к плоскости χ ;
найти и вычислить координаты (x 2 , y 2 , z 2) точки Н 1 , являющимися точками
пересечения прямой a с плоскостью χ ;
вычислить расстояние от М 1 до χ , используя формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 .

Третий способ

В заданной прямоугольной системе координат О х у z имеется плоскость χ , тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Отсюда получаем, что расстояние M 1 H 1 с точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1) , проведенной на плоскость χ , вычисляемое по формуле M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p . Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря теореме.

Теорема

Если задана точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости χ вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , тогда вычисление расстояния от точки до плоскости M 1 H 1 производится из формулы M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p , так как x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Доказательство

Доказательство теоремы сводится к нахождению расстояния от точки до прямой. Отсюда получаем, что расстояние от M 1 до плоскости χ - это и есть модуль разности числовой проекции радиус-вектора M 1 с расстоянием от начала координат к плоскости χ . Тогда получаем выражение M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Нормальный вектор плоскости χ имеет вид n → = cos α , cos β , cos γ , а его длина равняется единице, n p n → O M → - числовая проекция вектора O M → = (x 1 , y 1 , z 1) по направлению, определяемым вектором n → .

Применим формулу вычисления скалярных векторов. Тогда получаем выражение для нахождения вектора вида n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , так как n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатная форма записи примет вид n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , тогда M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теорема доказана.

Отсюда получаем, что расстояние от точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) к плоскости χ вычисляется при помощи подстановки в левую часть нормального уравнения плоскости cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 вместо х, у, z координаты x 1 , y 1 и z 1 ,относящиеся к точке М 1 , взяв абсолютную величину полученного значения.

Рассмотрим примеры нахождения расстояния от точки с координатами до заданной плоскости.

Пример 1

Вычислить расстояние от точки с координатами M 1 (5 , - 3 , 10) к плоскости 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Решение

Решим задачу двумя способами.

Первый способ начнется с вычисления направляющего вектора прямой a . По условию имеем, что заданное уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 является уравнением плоскости общего вида, а n → = (2 , - 1 , 5) является нормальным вектором заданной плоскости. Его применяют в качестве направляющего вектора прямой a , которая перпендикулярна относительно заданной плоскости. Следует записать каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящее через M 1 (5 , - 3 , 10) с направляющим вектором с координатами 2 , - 1 , 5 .

Уравнение получит вид x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Следует определить точки пересечения. Для этого нежно объединить уравнения в систему для перехода от канонического к уравнениям двух пересекающихся прямых. Данную точку примем за Н 1 . Получим, что

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · (y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

После чего необходимо разрешить систему

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Обратимся к правилу решения системы по Гауссу:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 · 10 + 2 · z = - 1 , x = - 1 - 2 · y = 1

Получаем, что H 1 (1 , - 1 , 0) .

Производим вычисления расстояния от заданной точки до плоскости. Берем точки M 1 (5 , - 3 , 10) и H 1 (1 , - 1 , 0) и получаем

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Второй способ решения заключается в том, чтобы для начала привести заданное уравнение 2 x - y + 5 z - 3 = 0 к нормальному виду. Определяем нормирующий множитель и получаем 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Отсюда выводим уравнение плоскости 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Вычисление левой части уравнения производится посредствам подстановки x = 5 , y = - 3 , z = 10 , причем нужно взять расстояние от M 1 (5 , - 3 , 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 по модулю. Получаем выражение:

M 1 H 1 = 2 30 · 5 - 1 30 · - 3 + 5 30 · 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Ответ: 2 30 .

Когда плоскость χ задается одним из способов раздела способы задания плоскости, тогда нужно для начала получить уравнение плоскости χ и вычислять искомое расстояние при помощи любого метода.

Пример 2

В трехмерном пространстве задаются точки с координатами M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) . Вычислить расстяние от М 1 к плоскости А В С.

Решение

Для начала необходимо записать уравнение плоскости, проходящее через заданные три точки с координатами M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Отсюда следует, что задача имеет аналогичное предыдущему решение. Значит, расстояние от точки М 1 к плоскости А В С имеет значение 2 30 .

Ответ: 2 30 .

Нахождение расстояния от заданной точки на плоскости или к плоскости, которым они параллельны, удобнее, применив формулу M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Отсюда получим, что нормальные уравнения плоскостей получают в несколько действий.

Пример 3

Найти расстояние от заданной точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) к координатной плоскости О х у z и плоскости, заданной уравнением 2 y - 5 = 0 .

Решение

Координатная плоскость О у z соответствует уравнению вида х = 0 . Для плоскости О у z оно является нормальным. Поэтому необходимо подставить в левую часть выражения значения х = - 3 и взять модуль значения расстояния от точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) к плоскости. Получаем значение, равное - 3 = 3 .

После преобразования нормальное уравнение плоскости 2 y - 5 = 0 получит вид y - 5 2 = 0 . Тогда можно найти искомое расстояние от точки с координатами M 1 (- 3 , 2 , - 7) к плоскости 2 y - 5 = 0 . Подставив и вычислив, получаем 2 - 5 2 = 5 2 - 2 .

Ответ: Искомое расстояние от M 1 (- 3 , 2 , - 7) до О у z имеет значение 3 , а до 2 y - 5 = 0 имеет значение 5 2 - 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Определение расстояния между: 1 - точкой и плоскостью; 2 - прямой и плоскостью; 3 - плоскостями; 4 - скрещивающимися прямыми рассматривается совместно, так как алгоритм решения для всех этих задач по существу одинаков и состоит из геометрических построений, которые нужно выполнить для определения расстояния между заданными точкой А и плоскостью α. Если и есть какое-то различие, то оно состоит лишь в том, что в случаях 2 и 3 прежде чем приступить к решению задачи, следует на прямой m (случай 2) или плоскости β (случай 3) отметить произвольную точку А. При определении расстояния между скрещивающимися прямыми предварительно заключаем их в параллельные плоскости α и β с последующим определением расстояния между этими плоскостями.

Рассмотрим каждый из отмеченных случаев решения задач.

1. Определение расстояния между точкой и плоскостью.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Поэтому решение этой задачи состоит из последовательного выполнения следующих графических операций:

1) из точки А опускаем перпендикуляра на плоскость α (рис. 269);

2) находим точку М пересечения этого перпендикуляра с плоскостью М = а ∩ α;

3) определяем длину отрезка .

Если плоскость α общего положения, то для того чтобы опустить на эту плоскость перпендикуляр, необходимо предварительно определить направление проекций горизонтали и фронтали этой плоскости. Нахождение точки встречи этого перпендикуляра с плоскостью также требует выполнения дополнительных геометрических построений.

Решение задачи упрощается, если плоскость α занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае и проведение проекций перпендикуляра, и нахождение точки его встречи с плоскостью осуществляется без каких-либо дополнительных вспомогательных построений.

ПРИМЕР 1. Определить расстояние от точки А до фронтально проецирующей плоскости α (рис. 270).

РЕШЕНИЕ. Через А" проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра l" ⊥ h 0α , а через А" - его фронтальную проекцию l" ⊥ f 0α . Отмечаем точку M" = l" ∩ f 0α . Так как AM || π 2 , то [А" М"] == |АМ| = d.

Из рассмотренного примера видно, насколько просто решается задача, когда плоскость занимает проецирующее положение. Поэтому, если в исходных данных будет задана плоскость общего положения, то, прежде чем приступить к решению, следует перевести плоскость в положение, перпендикулярное к какой-либо плоскости проекции.

ПРИМЕР 2. Определить расстояние от точки К до плоскости, заданной ΔАВС (рис. 271).

1. Переводим плоскость ΔАВС в проецирующее положение *. Для этого переходим от системы xπ 2 /π 1 к x 1 π 3 /π 1: направление новой оси х 1 выбирается перпендикулярным к горизонтальной проекции горизонтали плоскости треугольника.

2. Проецируем ΔАВС на новую плоскость π 3 (плоскость ΔАВС спроецируется на π 3 , в [ С" 1 В" 1 ]).

3. Проецируем на ту же плоскость точку К (К" → К" 1).

4. Через точку К" 1 проводим (К" 1 М" 1)⊥ отрезку [С" 1 В" 1 ]. Искомое расстояние d = |K" 1 M" 1 | .

Решение задачи упрощается, если плоскость задана следами, так как отпадает необходимость в проведении проекций линий уровня.

ПРИМЕР 3. Определить расстояние от точки К до плоскости α, заданной следами (рис. 272) .

* Наиболее рациональным путем перевода плоскости треугольника в проецирующее положение является способ замены плоскостей проекций, так как в этом случае достаточно построить только одну вспомогательную проекцию.

РЕШЕНИЕ. Заменяем плоскость π 1 плоскостью π 3 , для этого проводим новую ось x 1 ⊥ f 0α . На h 0α отмечаем произвольную точку 1" и определяем ее новую горизонтальную проекцию на плоскости π 3 (1" 1). Через точки X α 1 (Х α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) и 1" 1 проводим h 0α 1 . Определяем новую горизонтальную проекцию точки К → К" 1 . Из точки К" 1 опускаем перпендикуляр на h 0α 1 и отмечаем точку его пересечения с h 0α 1 - М" 1 . Длина отрезка K" 1 M" 1 укажет искомое расстояние.

2. Определение расстояния между прямой и плоскостью.

Расстояние между прямой и плоскостью определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на плоскость (см. рис. 248).

Поэтому решение задачи по определению расстояния между прямой m и плоскостью α ничем не отличается от рассмотренных в п. 1 примеров на определение расстояния между точкой и плоскостью (см. рис. 270 ... 272). В качестве точки можно брать любую точку, принадлежащую прямой m.

3.Определение расстояния между плоскостями.

Расстояние между плоскостями определяется величиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной плоскости, на другую плоскость.

Из этого определения вытекает, что алгоритм решения задачи по нахождению расстояния между плоскостями α и β отличается от аналогичного алгоритма решения задачи по определению расстояния между прямой m и плоскостью α лишь тем, что прямая m должна принадлежать плоскости α, т. е., чтобы определить расстояние между плоскостями α и β, следует:

1) взять в плоскости α прямую m;

2) выделить на прямой m произвольную точку А;

3) из точки А опустить перпендикуляр l на плоскость β;

4) определить точку М - точку встречи перпендикуляра l с плоскостью β;

5) определить величину отрезка .

На практике целесообразно пользоваться другим алгоритмом решения, который будет отличаться от приведенного лишь тем, что, прежде чем приступить к выполнению первого пункта, следует перевести плоскости в проецирующее положение.

Включение в алгоритм этой дополнительной операции упрощает выполнение всех без исключения остальных пунктов, что, в конечном счете, приводит к более простому решению.

ПРИМЕР 1. Определить расстояние между плоскостями α и β (рис. 273).

РЕШЕНИЕ. Переходим от системы xπ 2 /π 1 к x 1 π 1 /π 3 . По отношению к новой плоскости π 3 плоскости α и β занимают проецирующее положение, поэтому расстояние между новыми фронтальными,следами f 0α 1 и f 0β 1 является искомым.

В инженерной практике часто приходится решать задачу на построение плоскости, параллельной данной и удаленной от нее на заданное расстояние. Приведенный ниже пример 2 иллюстрирует решение такой задачи.

ПРИМЕР 2. Требуется построить проекции плоскости β, параллельной данной плоскости α (m || n), если известно, что расстояние между ними равно d (рис. 274).

1. В плоскости α проводим произвольные горизонталь h (1, 3) и фронталь f (1,2).

2. Из точки 1 восставляем перпендикуляр l к плоскости α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. На перпендикуляре l отмечаем произвольную точку А.

4. Определяем длину отрезка - (положение указывает на эпюре метрически неискаженное направление прямой l).

5. Откладываем на прямой (1"А 0) от точки 1" отрезок = d.

6. Отмечаем на проекциях l" и l" точки В" и В", соответствующие точке В 0 .

7. Через точку В проводим плоскость β (h 1 ∩ f 1). Чтобы β || α, необходимо coблюдать условие h 1 || h и f 1 || f.

4. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется длиной перпендикуляра, заключенного между параллельными плоскостями, которым принадлежат скрещивающиеся прямые.

Для того чтобы через скрещивающиеся прямые m и f провести взаимно параллельные плоскости α и β, достаточно через точку А (А ∈ m) провести прямую р, параллельную прямой f, а через точку В (В ∈ f) - прямую k, параллельную прямой m. Пересекающиеся прямые m и р, f и k определяют взаимно параллельные плоскости α и β (см. рис. 248, е). Расстояние между плоскостями α и β равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми m и f.

Можно предложить и другой путь для определения расстояния между скрещивающимися прямыми, который состоит в том, что с помощью какого-либо способа преобразования ортогональных проекций одна из скрещивающихся прямых переводится в проецирующее положение. В этом случае одна проекция прямой вырождается в точку. Расстояние между новыми проекциями скрещивающихся прямых (точкой A" 2 и отрезком C" 2 D" 2) является искомым.

На рис. 275 приведено решение задачи на определение расстояния между скрещивающимися прямыми а и b, заданными отрезками [АВ] и [ CD]. Решение выполняют в следующей последовательности:

1. Переводят одну из скрещивающихся прямых (а) в положение, параллельное плоскости π 3 ; для этого переходят от системы плоскостей проекции xπ 2 /π 1 к новой x 1 π 1 /π 3 , ось x 1 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой а. Определяют а" 1 [А" 1 В" 1 ] и b" 1 .

2. Путем замены плоскости π 1 плоскостью π 4 переводят прямую

а в положение а" 2 , перпендикулярное плоскости π 4 (новую ось х 2 проводят перпендикулярно а" 1).

3. Строят новую горизонтальную проекцию прямой b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Расстояние от точки А" 2 до прямой C" 2 D" 2 (отрезок (А" 2 М" 2 ] (является искомым.

Следует иметь в виду, что перевод одной из скрещивающихся прямых в проецирующее положение является ничем иным, как переводом плоскостей параллелизма, в которые можно заключить прямые а и b, также в проецирующее положение.

В самом деле, переведя прямую а в положение, перпендикулярное плоскости π 4 , мы обеспечиваем перпендикулярность любой плоскости, содержащей прямую а, плоскости π 4 , в том числе и плоскости α, определяемой прямыми а и m (а ∩ m, m || b). Если мы теперь проведем прямую n, параллельную а и пересекающую прямую b, то мы получим плоскость β, являющуюся второй плоскостью параллелизма, в которую заключены скрещивающиеся прямые а и b. Так как β || α, то и β ⊥ π 4 .

Инструкция

Для нахождения расстояния от точки до плоскости методами начертательной : выберите на плоскости произвольную точку; проведите через нее две прямые (лежащие в этой плоскости ); восстановите перпендикуляр к плоскости , проходящий через эту точку (постройте прямую, перпендикулярную одновременно обеим пересекающимся прямым); проведите через заданную точку прямую параллельную, построенному перпендикуляру; найдите расстояние между точкой пересечения этой прямой с плоскостью и заданной точкой.

Если положение точки задано ее трехмерными координатами, а положение плоскости – линейным уравнением, то, чтобы найти расстояние от плоскости до точки , воспользуйтесь методами аналитической геометрии: обозначьте координаты точки через x, y, z, соответственно (х – абсцисса, y – ордината, z – аппликата); обозначьте через А, В, С, D уравнения плоскости (А – параметр при абсциссе, В – при , С – при аппликате, D – свободный член); вычислите расстояние от точки до плоскости по формуле:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,где s – оасстояние между точкой и плоскостью,|| - абсолютного значения (или модуля) .

Пример.Найдите расстояние между точкой А с координатами (2, 3, -1) и плоскостью, заданной уравнением: 7х-6у-6z+20=0.Решение.Из условий следует, что:х=2,у=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20.Подставьте эти значения в вышеприведенную .Получится:s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Ответ:Расстояние от точки до плоскости равно 2 (условным единицам).

Совет 2: Как определить расстояние от точки до плоскости

Определение расстояния от точки до плоскости - одна из распространенных задач школьной планиметрии. Как известно, наименьшим расстоянием от точки до плоскости будет перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной плоскости . Поэтому длина этого перпендикуляра и принимается за расстояние от точки до плоскости .

Вам понадобится

уравнение плоскости

Инструкция

Пусть первая из параллельных f1 задана уравнением y=kx+b1. Переведя выражение в общий вид, у вас получится kx-y+b1=0, то есть A=k, B=-1. Нормалью к ней будет n={k, -1}.
Теперь следует произвольную абсциссу точки х1 на f1. Тогда ее ордината y1=kx1+b1.
Пусть уравнение второй из параллельных прямых f2 будет иметь вид:
у=kx+b2 (1),
где k одинаково для обеих прямых, в силу их параллельности.

Далее вам необходимо составить каноническое уравнение линии перпендикулярной как f2, так и f1, содержащей точку М (x1, y1). При этом полагают, что х0=х1, y0=y1, S={k, -1}. В результате у вас должно получится следующее равенство:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

Решив систему уравнений, состоящую из выражений (1) и (2), вы найдете вторую точку, определяющую искомое расстояние между параллельными N(x2, y2). Само искомое расстояние будет равно d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Пример. Пусть уравнения заданных параллельных прямых на плоскости f1 – у=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Берем произвольную точку х1=1 на f1. Тогда y1=3. Первая точка, таким образом будет иметь координаты M (1,3). Уравнение общего перпендикуляра (3):
(х-1)/2 = -y+3 или y=-(1/2)x+5/2.
Подставив это значение y в (1), получить:
-(1/2)x+5/2=2х+5, (5/2)х=-5/2, х2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2=3.
Второе основание перпендикуляра в точке с координатами N (-1, 3). Расстояние между параллельными прямыми составит:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Источники:

Развитие легкой атлетики в России

Вершина любой плоской или объемной геометрической фигуры однозначно определяется своими координатами в пространстве. Точно так же может быть однозначно определена и любая произвольная точка в той же системе координат, а это дает возможность вычислить расстояние между этой произвольной точкой и вершиной фигуры.

Вам понадобится

- бумага;
- ручка или карандаш;
- калькулятор.

Инструкция

Сведите задачу к нахождению длины отрезка между двумя точками, если координаты заданной в задачи точки и вершины геометрической фигуры известны. Эту длину можно вычислить, воспользовавшись теоремой Пифагора применительно к проекциям отрезка на оси координат - она будет равна квадратному корню из суммы квадратов длин всех проекций. Например, пусть в трехмерной системе координат заданы точка A(X₁;Y₁;Z₁) и вершина C фигуры любой геометрической с координатами (X₂;Y₂;Z₂). Тогда длины проекций отрезка между ними на координатные оси можно как X₁-X₂, Y₁-Y₂ и Z₁-Z₂, а длину отрезка - как √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²). Например, если координаты точки A(5;9;1), а вершины C(7;8;10), то расстояние между ними будет равно √((5-7)²+(9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Вычислите сначала координаты вершины, если в явном виде в условиях задачи они не представлены. Конкретный способ зависит от типа фигуры и известных дополнительных параметров. Например, если известны трехмерные координаты трех вершин A(X₁;Y₁;Z₁), B(X₂;Y₂;Z₂) и C(X₃;Y₃;Z₃), то координаты четвертой его вершины (противоположной вершине B) будут (X₃+X₂-X₁; Y₃+Y₂-Y₁; Z₃+Z₂-Z₁). После определения координат недостающей вершины вычисление расстояния между ней и произвольной точкой вновь сведется к определению длины отрезка между двумя этими точками в заданной системе координат - сделайте это тем же способом, который был описан в предыдущем шаге. Например, для вершины описанного в этом шаге параллелограмма и точки E с координатами (X₄;Y₄;Z₄) формулу вычисления расстояния из предыдущего шага можно так: √((X₃+X₂-X₁-X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²).

Для практических расчетов можно использовать, например, встроенный в поисковую систему Google . Так, чтобы вычислить значение по формуле, полученной на предыдущем шаге, для точек с координатами A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7;9;2), введите такой поисковый запрос: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Поисковик рассчитает и отобразит результат вычислений (5,19615242).

Видео по теме

Восстановление перпендикуляра к плоскости – одна из важных задач в геометрии, она лежит в основе многих теорем и доказательств. Чтобы построить прямую, перпендикулярную плоскости , нужно последовательно выполнить несколько действий.

Вам понадобится

- заданная плоскость;
- точка, из которой требуется провести перпендикуляр;
- циркуль;
- линейка;
- карандаш.

Тип задания: 14

Условие

В правильной треугольной пирамиде DABC с основанием ABC сторона основания равна 6\sqrt{3}, а высота пирамиды равна 8 . На ребрах AB , AC и AD соответственно отмечены точки M , N и K , такие, что AM=AN=\frac{3\sqrt{3}}{2} и AK=\frac{5}{2}.

а) Докажите, что плоскости MNK и DBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки K до плоскости DBC .

Показать решение

Решение

а) Плоскости MNK и DBC параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Докажем это. Рассмотрим прямые MN и KM плоскости MNK и прямые BC и DB плоскости DBC.

В треугольнике AOD : \angle AOD = 90^\circ и по теореме Пифагора AD=\sqrt{DO^2 +AO^2}.

Найдём AO , используя то, что \bigtriangleup ABC правильный.

AO=\frac{2}{3}AO_1, где AO_1 — высота \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}, где a — сторона \bigtriangleup ABC.

AO_1 = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}=9, тогда AO=6, AD=\sqrt{8^2 + 6^2}=10.

1. Так как \frac{AK}{AD}=\frac{5}{2} : 10=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2} : 6\sqrt{3}=\frac{1}{4} и \angle DAB — общий, то \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Из подобия следует, что \angle AKM = \angle ADB. Это соответственные углы при прямых KM и BD и секущей AD . Значит KM \parallel BD.

2. Так как \frac{AN}{AC}=\frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 6 \sqrt{3}}=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4} и \angle CAB — общий, то \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Из подобия следует, что \angle ANM = \angle ACB. Эти углы соответственные при прямых MN и BC и секущей AC . Значит, MN \parallel BC.

Вывод: так как две пересекающиеся прямые KM и MN плоскости MNK соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BD и BC плоскости DBC , то эти плоскости параллельны — MNK \parallel DBC.

б) Найдём расстояние от точки K до плоскости BDC .

Поскольку плоскость MNK параллельна плоскости DBC , то расстояние от точки K до плоскости DBC равно расстоянию от точки O_2 до плоскости DBC и оно равно длине отрезка O_2 H. Докажем это.

BC \perp AO_1 и BC \perp DO_1 (как высоты треугольников ABC и DBC ), значит, BC перпендикулярна плоскости ADO_1, и тогда BC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, например, O_2 H. По построению O_2H\perp DO_1, значит, O_2H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BCD , и тогда отрезок O_2 H перпендикулярен плоскости BCD и равен расстоянию от O_2 до плоскости BCD .

В треугольнике O_2HO_1:O_2H=O_{2}O_{1}\sin\angle HO_{1}O_{2}.

O_{2}O_{1}=AO_{1}-AO_{2}.\, \frac{AO_2}{AO_1}=\frac{1}{4}, AO_{2}=\frac{AO_1}{4}=\frac{9}{4}.

O_{2}O_{1}=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}.

\sin \angle DO_{1}A= \frac{DO}{DO_{1}}= \frac{8}{\sqrt{64+3^2}}= \frac{8}{\sqrt{73}}.

O_2H=\frac{27}{4} \cdot \frac{8}{\sqrt{73}}=\frac{54}{\sqrt{73}}.

Ответ

\frac{54}{\sqrt{73}}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — правильная четырехугольная призма.

а) Докажите, что плоскость BB_1D_1 \perp AD_1C .

б) Зная AB = 5 и AA_1 = 6 найдите расстояние от точки B_1 до плоскости AD_1C .

Показать решение

Решение

а) Так как данная призма правильная, то BB_1 \perp ABCD , отсюда BB_1 \perp AC . Поскольку ABCD — квадрат, то AC \perp BD . Таким образом, AC \perp BD и AC \perp BB_1 . Так как прямые BD и BB_1 пересекаются, то, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, AC \perp BB_1D_1D . Теперь по признаку перпендикулярности плоскостей AD_1C \perp BB_1D_1 .

б) Обозначим через О точку пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD . Плоскости AD_1C и BB_1D_1 пересекаются по прямой OD_1 . Пусть B_1H — перпендикуляр, проведенный в плоскости BB_1D_1 к прямой OD_1 . Тогда B_1H \perp AD_1C . Пусть E=OD_1 \cap BB_1 . Для подобных треугольников D_1B_1E и OBE (равенство соответствующих углов следует из условия BO \parallel B_1D_1 ) имеем \frac {B_1E}{BE}=\frac{B_1D_1}{BO}=\frac{2}1 .

Значит, B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Так как B_1D_1=5\sqrt{2} , то гипотенуза D_1E= \sqrt{B_1E^{2}+B_1D_1^{2}}= \sqrt{12^{2}+(5\sqrt{2})^{2}}= \sqrt{194}. Далее применяем метод площадей в треугольнике D_1B_1E для вычисления высоты B_1H , опущенной на гипотенузу D_1E :

S_{D_1B_1E}=\frac1{2}B_1E \cdot B_1D_1=\frac1{2}D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt{2}=\sqrt{194} \cdot B_1H;

B_1H=\frac{60\sqrt{2}}{\sqrt{194}}=\frac{60}{\sqrt{97}}=\frac{60\sqrt{97}}{97} .

Ответ

\frac{60\sqrt{97}}{97}

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 14
Тема: Расстояние от точки до плоскости

Условие

ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольный параллелепипед. Ребра AB=24, BC=7, BB_{1}=4 .

а) Докажите, что расстояние от точек B и D до плоскости ACD_{1} одинаковы.

б) Найдите это расстояние.

Показать решение

Решение

а) Рассмотрим треугольную пирамиду D_1ACD .

В данной пирамиде расстояние от точки D до плоскости основания ACD_1-DH — равно высоте пирамиды, проведенной из точки D , к основанию ACD_1 .

V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot DH , из этого равенства получаем

DH=\frac{3V_{D_1ACD}}{S_{ACD_1}} .

Рассмотрим пирамиду D_1ABC . Расстояние от точки B до плоскости ACD_1 равно высоте, опущенной из вершины B к основанию ACD_1 . Обозначим это расстояние BK . Тогда V_{D_1ABC}=\frac1{3}S_{ACD_1} \cdot BK , из этого получаем BK=\frac{3V_{D_1ABC}}{S_{ACD_1}}.\: Но V_{D_1ACD} = V_{D_1ABC} , так как, если считать в пирамидах основаниямиADC и ABC , то высота D_1D общая и S_{ADC}=S_{ABC} (\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC по двум катетам). Значит, BK=DH .

б) Найдем объем пирамиды D_1ACD .

Высота D_1D=4 .

S_{ACD}=\frac1{2}AD \cdot DC=\frac1{2} \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1{3}S_{ACD} \cdot D_1D=\frac1{3} \cdot84 \cdot4=112 .

Площадь грани ACD_1 равна \frac1{2}AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt{AD^{2}+DD_1^{2}}= \sqrt{7^{2}+4^{2}}= \sqrt{65}, \: AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}= \sqrt{24^{2}+7^{2}}= 25

Зная, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, в треугольнике ADC имеем AD^{2}=AC \cdot AP, \: AP=\frac{AD^{2}}{AC}=\frac{7^{2}}{25}=\frac{49}{25}.

В прямоугольном треугольнике AD_1P по теореме Пифагора D_1P^{2}= AD_1^{2}-AP^{2}= 65-\left (\frac{49}{25} \right)^{2}= \frac{38\:224}{25^{2}}, D_1P=\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}.

S_{ACD_1}=\frac1{2} \cdot25 \cdot\frac{4\sqrt{2\:389}}{25}=2\sqrt{2\:389} .

DH=\frac{3V}{S_{ACD_1}}=\frac{3 \cdot112}{2\sqrt{2\:389}}=\frac{168}{\sqrt{2\:389}} .